Karmaşık Sayılar Ders Notları

DersHocasi.Net

Takdir Teşekkür Hesaplama

4.Sınıf 5.Sınıf 6.Sınıf ~

7.Sınıf ~8.Sınıf~9.Sınıf~

10.Sınıf ~11.Sınıf ~12.Sınıf

yenii6.Sınıf Video Soru Çöz yenii7.Sınıf Video Soru Çöz yenii8.Sınıf Video Soru Çöz
Tüm konuların Tüm Sınıfların Çözümlü Testleri 1 Hafta Sonra Sitemizde Bulabileceksiniz... Takipte Kalın....

Karmaşık Sayılar

Dershocasi.Net Sitemize hoş geldiniz. Sitemiz Eğitim Kategorisinde Hizmet Vermekte Olup Her Türlü Güncel Bilgiyi Rahatlıkla Takip Edebilirsiniz. Sitemiz Siz Değerli Üyelerimize Bilgi vermek Bilgilerini Almak Konular Hakkında Detaylı Bilgi Sahibi Olaları İçin Açılmış Tamamıyla Ücretsiz Bir Portaldır. Ücretsiz olmasının sebebi sizlere kaliteli ve değerli bilgileri kaliteli olarak sunmaktır. Amacımız sizden para kazanmak değil sizden hayır duanızı almaktır. Sizden Sadece "ALLAH RAZI OLSUN" demeniz için Çalışıyoruz.. Sitemiz Hakkında yorumlar yapabilir ve öneriler sunabilirsiniz...

KARMAŞIK SAYILAR

 

I. KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİ

Tanım

sayısına sanal sayı (imajiner sayı) birimi denir. ve

ile gösterilir.

 

Uyarı

a, b pozitif gerçel sayı ve

x, y negatif gerçel sayı olmak üzere,

 

 

A. i NİN KUVVETLERİ

     

olmak üzere,

i0 = 1 dir.

i1 = i dir.

i2 = –1 dir.

i3 = i2 × i1 = (–1) × i = –i dir.

i4 = i2 × i2 = (–1) × (–1) = 1 dir.

i5 = i4 × i1 = 1 × i = i dir.

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, –1, –i değerlerinden birine eşit olmaktadır.

 

Sonuç

Sanal sayı biriminin (i nin) kuvveti x olsun. x tam sayısı 4 ile bölündüğünde,

kalan 0 ise, ix ifadesinin eşiti 1,

kalan 1 ise, ix ifadesinin eşiti i,

kalan 2 ise, ix ifadesinin eşiti –1,

kalan 3 ise, ix ifadesinin eşiti –i dir.

Buna göre, n tam sayı olmak üzere,

i4n= 1,

i4n+1 = i,

i4n+2 = –1,

i4n+3 = –i dir.

 

Tanım

a ve b birer reel (gerçel) sayı ve olmak üzere,

z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayısına karmaşık (kompleks) sayı denir.

Karmaşık sayılar kümesi ile gösterilir. Buna göre,

z = a + bi karmaşık sayısında;

a ya karmaşık sayının reel (gerçel) kısmı,

b ye karmaşık sayının imajiner (sanal) kısmı denir.

z = a + bi ise

Re(z) = a

İm(z) = b

şeklinde gösterilir.

 

Uyarı

Her reel (gerçel) sayı imajiner kısmı 0 (sıfır) olan bir karmaşık sayıdır.

Buna göre, karmaşık sayılar kümesi reel sayılar kümesini kapsar. Yani, dir.

 

 

B. İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ

Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı birbirine eşittir.

Kural

 

 

C. KARMAŞIK SAYILARIN ANALİTİK DÜZLEMDE BELİRTİLMESİ

Reel kısmı a, imajiner kısmı b olan karmaşık sayının; z = a + ib şeklindeki gösterimine karmaşık sayının standart (cebirsel) biçimi,
Z(a, b) biçimindeki gösterimine kartezyen koordinatlarıyla gösterilmiş biçimi denir.

Ox eksenine reel eksen, Oy eksenine de sanal (imajiner) eksen diyerek karmaşık sayıları gösterebileceğimiz karmaşık düzlemi elde ederiz.

Karmaşık sayılarla karmaşık düzlemin noktaları bire bir eşlenebilir.

z = a + bi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü (a, b) noktasıdır.

 

 

D. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ

ve  i2 = –1 olmak üzere,

a + bi ve a + (–b)i karmaşık sayılarından birine diğerinin eşleniği denir.

z karmaşık sayısının eşleniği ile gösterilir.

Buna göre,

 

Kural

Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisidir.

Buna göre,

 

Kural

Reel kat sayılı, ax2 + bx + c = 0 ikinci dereceden denkleminin köklerinden biri m + ni karmaşık sayısı ise diğeri m – ni sayısıdır.

 

 

E. KARMAŞIK SAYILARIN MUTLAK DEĞERİ (MODÜLÜ)

Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen noktanın başlangıç noktasına (orijine) olan uzaklığına bu sayının mutlak değeri veya modülü denir.

z karmaşık sayısının mutlak değeri |z| ile gösterilir.

Yandaki dik üçgende Pisagor teoreminden de,

dir.

 

 

F. KARMAŞIK SAYILARDA İŞLEMLER

1. Toplama İşlemi

Karmaşık sayılar toplanırken, reel kısımlar kendi aralarında ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda,

2. Çıkarma İşlemi

      z + (–w) = z – w

olduğuna göre, z sayısını w sayısının toplama işlemine göre tersi ile toplamak, z sayısından w sayısını çıkarmak demektir. Buna göre,

z ile w nin farkı, reel kısımların birbiri ile sanal kısımların birbiri ile farkına eşittir. Reel kısımların farkı, sonucun reel kısmını; sanal kısımların farkı, sonucun sanal kısmını verir. Buna göre,

i2 = –1 olmak üzere,

karmaşık sayıları verilmiş olsun. Bu durumda

 

3. Çarpma İşlemi

Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = –1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır.

z = a + bi ve w = c + dolsun. Buna göre,

 

Sonuç

i2 = –1 ve z = a + bi olmak üzere,

     

 

Kural

i2 = –1 ve n tam sayı olmak üzere,

 

4. Bölme İşlemi

z1 × (z2)–1 sayısına z1 in z2 ye bölümü denir ve biçiminde gösterilir.

Karmaşık sayılarda bölme işlemi, pay ile paydanın, paydanın eşleniği ile genişletilmesiyle yapılır. Yani,

z1 = a + bi ve z2 = c + di ise,

 

5. Eşlenik ve Mutlak Değerle İlgili Bazı Özellikler

z1 ve z2 birer karmaşık sayı olmak üzere,

 

G. KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK

z = a + bi ve w = c + di  olsun.

      |z – w|

ifadesinin değeri z ile w sayısı arasındaki uzaklığa eşittir.

     

z sayısına karşılık gelen nokta A, w sayısına karşılık gelen nokta B olsun. Buna göre,

 

Kural

z, değişen değerler alan bir karmaşık sayı; w sabit bir karmaşık sayı ve r, pozitif reel sayı olmak koşuluyla

      |z – w| = r

eşitliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan bir çember belirtir.

      |z – w| < r

eşitsizliğini gerçekleyen z noktalarının kümesi, karmaşık düzlemde, merkezi w ye karşılık gelen nokta ve yarıçapı r olan çemberin iç bölgesini belirtir.

 

 

II. KARMAŞIK SAYILARIN KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) GÖSTERİMİ

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

     

z nin karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktasıdır. z karmaşık sayısını orijine birleştiren doğrunun reel eksenle (Ox ekseniyle) pozitif yönde yaptığı açıya, z karmaşık sayısının argümenti denir ve

      arg(z) ile gösterilir.

olsun. Bu durumda,

şeklinde gösterilir.

Açının esas ölçüsü olan değere de esas argüment denir. Bu durumda esas argüment; negatif olmayan ve 360° den ( radyandan) küçük bir değerdir.

Yukarıdaki şekilde, OHM dik üçgeninden,

yazılır. Buradan,

 

Sonuç

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun. z nin, mutlak değeri (orijine uzaklığı) |z| = r ve esas argümenti q olmak üzere,

      z = |z| × (cosq + isinq)

biçiminde yazılmasına, z karmaşık sayının kutupsal (trigonometrik) gösterimi denir.

z = |z| × (cosq + isinq) ifadesi z = r × cisq biçiminde kısaca gösterilebilir.

 

Tanım

i2 = –1 olmak üzere, z = a + bi olsun.

Karmaşık sayının mutlak değeri ile argümentinden oluşan sıralı ikiliye bu sayının kutupsal koordinatları denir. z nin kutupsal koordinatları (|z|, q) veya (r, q) biçiminde gösterilir.

 

Kural

     

olmak üzere,

Buna göre, karmaşık sayıların çarpımının argümenti, bu sayıların argümentleri toplamına eşittir. Bu durumda,

 

Kural

     

olmak üzere,

     

Buna göre, iki karmaşık sayının bölümünün argümenti, bu sayıların argümentleri farkına eşittir. Bu durumda,

     

 

Kural

 

Sonuç

 

Sonuç

     

Buna göre, bir karmaşık sayının esas argümentinin ölçüsü radyan türünden a ise, bu karmaşık sayının eşleniğinin esas argümenti 2pa dır.

 

Kural

z0 = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a, b) noktası olsun.

arg(z – z0) = q

koşulunu sağlayan z karmaşık sayılarının görüntüsü MP yarı doğrusudur.

 

 

A. ORİJİN ETRAFINDA DÖNDÜRME

z = r × cisq karmaşık sayısının orijin etrafında pozitif yönde a kadar döndürülmesiyle elde edilen karmaşık sayı, v = r × cis(q + a) olur. Bu durum,

      v = z × (cosa + isina)

biçiminde de ifade edilebilir.

 

Uyarı

Bir karmaşık sayıyı negatif yönde q derece kadar döndürmek, o sayıyı pozitif yönde 360° – q kadar döndürmektir.

 

 

B. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ

olmak üzere,

zn = u denklemini sağlayan z sayısına u sayısının n inci kuvvetten kökü denir.

 

Sonuç

z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları birbirinin toplama işlemine göre tersidir.

Yani, z2 = w eşitliğini sağlayan z sayıları z1 ile z2 ise,

z1 = –z2 dir.

 

Kural

zn = w denkleminin kökleri aşağıdaki eşitliği sağlayan zk sayısında k yerine, 0, 1, 2, … , (n – 1) yazılarak bulunur.

Benzer Konular

LYS Matematik Konuları Nelerdir? 2013

LYS Matematik Konuları Nelerdir? 2013

LYS Matematik Konuları Nelerdir? 2013 Merhaba ARkadaşlar sizlere çok çok güzel bir yazı yazmak istiyorum....

12.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir?

12.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir?

12.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 12.sınıfa giden arkadaşlar bu konumuz sizler için sınava hazırlanmayı planlıyorsaız nu...

11.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir?

11.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir?

11.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 11.sınıfa gidena rkadaşlar 11.sınıfta göreceğizniz konular nelerdir. işte bugun sizlere bu...

10.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 2012-2013

10.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 2012-2013

10.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 2012-2013 Arkadaşlar 2012-2013 eğitim öğretim yılında tabiki sizde matematik dersi göreceksiniz...

9.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 2012-2013

9.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 2012-2013

9.Sınıf Matematik Konuları Nelerdir? 2012-2013 2012-2013 eğitim öğretim yılında 9.sınıf matematik konuları nelerdir işte bugun...

Facebook İle Yorum Yapmaya Ne Dersin?

Facebook İle Yorum Yapmaya Ne Dersin?

56 Sorgu 0,556Site Haritası Site HaritasıReklam Gizlilik Politikası

Dershocasi.Net sitemizde illegal içeriklere yer verilmez. Sitemizde yer alan içeriklerle ilgili telif hakkı iddiasında bulunan kişi ya da kurumlar bizlere iletişim adresinden ulaşabilirler. İlgili içerik gerekli görüldüğü takdirde en geç 24 saat içerisinde derhal kaldırılacaktır.

Yukarı